Да, мужская фамилия Король склоняется. Правильно: Королю Евгению.
Правильно: косуля, -и; р. мн. косуль.
Склоняется. См. в «Письмовнике».
Склоняются мужские фамилии Бутон и Король. Фамилия Прокопенко не склоняется.
Да, склонение мужской фамилии Король обязательно (женская фамилия не склоняется).
Слова корить и упрекать - синонимы.
Для выполнения этого задания нужны словари. Воспользуйтесь электронными словарями на Грамоте.Ру.
Нужно склонять только мужскую фамилию.