На качелях обычно качаются, на каруселях - катаются.
Правильно: кидаться. Слова кидаться нет в русском языке.
Можно использовать оба глагола. По смыслу здесь больше подходит слово ванна, чем ванная. Верно: купаться в ванне, мыться в ванне.
Запятая нужна: Не знаю, куда податься.
Использование кавычек факультативно.
Мы покаялись.