Правильно: кануть в Лету.
Верно: Назначить ответственное лицо... А лучше: Назначить лицо, ответственное за содержание в исправном состоянии.
Правильно с прописной: кануть в Лету.
Оба варианта верны.
Лучше: Как не потерять лицо?
Верно (если речь об одном и том же лице): для себя.
Если в этом предложении не используется повторяющийся союз либо... либо, для постановки указанной запятой нет оснований.