Правильно написание без запятой.
Зависит от контекста, но, если эта визитная карточка принадлежит руководителю, предлог не нужен.
Наличие картинки - не повод менять правописание. Дефис нужно оставить.
Рекомендация орфографического словаря: бедж.
В лингвистических словарях заголовочной единицей обычно является начальная форма слова. Начальная форма прилагательного - им. падеж, мужской род, ед. ч.
Запятая перед тире нужна: оборот нанесенная на футболку выделяется запятыми с двух сторон.
Правильное написание: бедж (именная карточка).
Кавычки в обоих случаях не требуются, но Вы все же можете их поставить.