Запятая не ставится, если слово вскоре по смыслу относится к обеим частям сложносочиненного предложения (т. е. и то и другое произошло вскоре).
Верно: Рассмотрено 5 кандидатур, принято 10 поправок.
Оба варианта правильны.
Оба варианта грамматически корректны, но имеют разное значение.
В первом варианте слово количество относится к слову указание: с указанием чего? — количества. Но при таком употреблении возникает двусмысленность: грамматически словоформу количества можно отнести и к срокам: сроков чего? — проведения и количества. Полагаем, что связи между словами должны быть понятны по смыслу, но можно предотвратить грамматическую неоднозначность, переставив местами компоненты предложения: с указанием количества кандидатур и сроков проведения.
Второй вариант правилен, если слово количество относится к слову информация: информация о чем? — о программах... и количестве кандидатур.
Корректно: включить... следующие кандидатуры.
Запятая после слова нет не нужна, т. к. союз и соединяет однородные придаточные предложения.