Верно: сдержал клятву и выполнил (исполнил) обещание.
Запятая не требуется, так как пусть относится к обеим частям предложения.
Дуэт Сергея Иванова и Владимира Васильева исполнил песню... Ответ на вопрос о грамматических свойствах слова дуэт можно найти в материалах словарей, размещенных на нашем портале.
Такие названия в кавычки не заключаются.
Правильно: Музыкант исполнил сложную, хотя и привычную для себя программу.
Знаки препинания верны.