Правильно: Институт внешней торговли Италии.
Предпочтительно: окончить институт.
В подобных случаях название института следует писать в кавычках и не склонять: Учреждение Российской академии наук «Институт серпа и молота», директор Учреждения РАН «Институт серпа и молота».
Кавычки не нужны: Институт европейских исследований.
Употребительнее: проектный институт.
В названиях организаций, учреждений с большой буквы пишется первое слово. Корректно: Международный институт психоанализа.
Здесь верно: Ваш институт (т. е. "институт, в котором Вы работаете").