Правильно: Приказ «Об организации и ведении воинского учета граждан, пребывающих в запасе, и их бронировании».
1. Существительное можно пропустить: назначить ответственным за ведение журнала такого-то.
2. Корректно: обязанность по ведению журнала.
Ставить запятую нет необходимости.