Верно: избегать (чего?) Синей яхты.

Верно: умеет избегать конфликтных ситуаций.

Глагол избегать требует родительного падежа: избегать резких движений.

Верно: избегать продуктов с содержанием жиров.

Правильно: избегать кого-чего; избегать яхты, семьи, разговора, резких движений, друзей. Ответ на вопрос № 227827 изменен.

Правильно: он стал избегать семьи.

Написание буквы з в слове низвергнутый (а также в родственных словах с начальной частью низверг(ж), например: низвергать, низвергнуть, низвержение) подчиняется правилу о приставках на з/с. Приставка выделяется при сравнении со словами свергнуть, отвергать, повергнуть. В орфографии принят более этимологичный подход к членению слова на морфемы, чем в морфемике. Этим часто объясняются расхождения в морфемном членении слова в разных источниках.

Недопустимы слитные написания с одной прописной буквой в середине слова. Поэтому после начальной части слова, по основным правилам пишущейся слитно, – после приставки, первой части сложного или сложносокращенного слова – следует писать дефис, если вторая часть представляет собой собственное имя и потому пишется с прописной буквы. Орфографически верно: «Дем-Россия».

Запятая не ставится.

Вы правы, перед союзом и, соединяющим два сказуемых, которые относятся к одному подлежащему, запятая не нужна.