Правильно: в городе Шахты, в городе Зверево. Географические названия в сочетании с родовым словом не склоняются, если внешняя форма названия соответствует форме мн. числа. Топонимы славянского происхождения, оканчивающиеся на -ово, -ево, -ино, -ыно, не склоняются в сочетании с родовым словом.
Выбор буквы зависит от места ударения в слове. Правило таково: в слове с ударением на окончании пишется суффикс -инств- (большинство́, старшинство́, меньшинство́), в слове с ударением на корне пишется суффикс -енств- (пе́рвенство, ни́щенство). Исключение: се́́стринство.