Алгоритм прост. Нужно взять толковый словарь; если в словаре соответствующие значения относятся к разным словарным статьям, то данные слова - омонимы. Если значения объединены в одной словарной статье, то это многозначное слово. Вперед, за словарь!
Название склоняется: в «Войне и мире», по «Войне и миру».
Имя Миа не склоняется. Не склоняются мужские и женские фамилии и личные имена, оканчивающиеся на -а с предшествующей гласной. Правильно: у Миа.
Книжный вариант: заключить договоры. Разговорный вариант: заключить договора.
Возможны варианты: доступ к чему-либо, доступ куда-либо. Не вполне ясно, каков смысл фразы.
Верно с маленькой буквы: карта мира.
Возможные варианты: любимой экранизации романа "Война и мир" и любимой экранизации "Войны и мира".