Верно: залезать. Вариант залазить просторечный.
Нет, такое употребление неправильно. Глагол завесить в русском литературном языке имеет только одно значение: «то же, что занавесить: закрыть, скрыть, повесив что-либо».
Кавычки факультативны.
Правильно: завешенное шторкой окно (=окно завесили).
Забить гол - грамотно.
Вполне соответствует.