Верно: учиться этой специальности, обучаться по специальности, приобретать специальность.
Правильно: мучиться (неопределенная форма); мучится и допустимо в разговорной речи мучается (форма 3-го лица ед. числа).
Здесь правильно раздельно: и так.
Запятая перед сочинительным союзом, соединяющим два вопросительных предложения, не нужна. См. пункт 5 параграфа 112 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).
Это, действительно, лишнее слово.
Верно: оружием мериться мы не будем.
Если учиться — подлежащее, а стремление абсурдное — сказуемое, то тире нужно.