Правильно: на берегу реки Клязьмы. Обратите внимание: сочетание раскинувшийся символ неудачно.
Корректно: на берегу реки Упы.
Здесь "Реки" – часть топонима (собственного наименования набережной), этим обусловлено употребление прописной буквы.
Да, это название склоняется (см. словарную фиксацию). Правильно: приток Ред-Ривера.
Это слово женского рода.
Правильно: набережная реки Москвы, набережная Москвы-реки. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».