Корректно написание строчными буквами.

Общая рекомендация — оформлять такие сочетания как описательные обороты, то есть писать без заглавных букв. При этом заметим, что нельзя исключить возможность их написания с прописной как устойчиво употребляемых усеченных названий. 

Кавычки в этом случае не требуются. Ср.: село Лесное.

Верно: сельский Дом культуры (если слово сельский не входит в официальное название учреждения).

В именительном и винительном падежах верно: 24 сельских поселения.

Например: поль-ский.

Корректно: тульский самовар, тульские пряники.

Словарной фиксации нет. Корректно по аналогии с село – сельский – сельчанин: аул – аульский – аульчанин.

Нет, оставшаяся после сокращения часть слова должна оканчиваться на согласный. Если перед отсекаемой частью слова стоит мягкий знак, то при сокращении он отсекается. Например, польский – пол. (не поль.), сельский – сел. (не сель.).

Да, есть.