Лучше: в лотке.
Оба сочетания правильны: и дать обязательство, и взять (брать) на себя обязательство.
Использовать кавычки не нужно.
Выбор формы зависит от смысла предложения. Правильно: дать (немного, много) денег, дать (эти) деньги.
Верно: дать молоко и дать (немного, сколько-нибудь) молока.