Корректно: поддерживать под мышками, поддерживать за подмышки.
Кавычки не нужны.
Требуется раздельное написание.
Лучше: принять чью-либо сторону (в споре, конфликте).
В данном случае инфинитив поддерживать (с зависимыми от него словами) — это «представляющая форма», которая называет то, на чем сосредоточивается внимание («Русская грамматика» 1980 г., т. 2, § 2675). Действительно, в практике письма она отделяется от основного высказывания с помощью тире.
Постановка запятой не обязательна в этом случае.
Запятая не нужна: неповторяющийся союз и соединяет однородные сказуемые.
Кавычки не нужны. Значение глагола бить 'наносить поражение, побеждать; одерживать верх над кем-либо в чём-либо (обычно во время военных действий, спортивных состязаний, игр и т. п.)' зафиксировано словарями русского языка, оно не является необычным, непривычным и не требует постановки кавычек.
Такая пунктуация возможна.