Корректно: диагноз рак (нет знаков препинания между определяемым словом и приложением); Диагноз - рак (тире ставится между подлежащим и сказуемым).
Кавычки нужны.
Корректно: диагноз «сахарный диабет».
Возможно: неясной этиологии.
Верно: ставить диагноз, поставить диагноз.
Правильно: поставить диагноз.
Корректно написание в кавычках: диагноз «туберкулез».
Нужно поставить тире.