Лучше: принять чью-либо сторону (в споре, конфликте).
По смыслу варианты равны.
Оба варианта корректны.
"Куда путь держишь?" - куда направляешься.
Оба предложения составлены правильно.
Лучше переформулировать фразу, например, так: Двери лифта должны быть полностью открыты.