Да, домашним именем Катя называют и Катерину, и Екатерину.
Об имени Екатерина, как и других, можно прочитать на нашем портале в «Словаре русских личных имен» Н. А. Петровского.
Верно: в Дашковом переулке.
Да, эту фамилию следует склонять.
Да, склоняется.
См. в «Словаре трудностей».