Да, слово индюшачий существует в русском языке и образовано от существительного индюшка по отнюдь не самой редкой словообразовательной модели, ср.: кошка – кошачий, лягушка – лягушачий и др. Здесь перед нами очень распространенный в русском языке суффикс -ий (прилагательные с этим суффиксом имеют значение «свойственный, присущий (реже – принадлежащий) тому, кто назван (что названо) мотивирующим словом»), который в приведенных примерах представлен морфом -ачий. Этот суффикс в словах, мотивированных названиями животных, может быть представлен и другими морфами: -ий, -ичий, -овий: лиса – лисий, рыба – рыбий, белка – беличий, слон – слоновий. Как видите, у индюшки здесь весьма большая и дружная компания, есть в ней и другие птицы: гага – гагачий, попугай – попугаичий. Подробнее об этой словообразовательной модели см. § 614–615 академической «Русской грамматики».

Корректно без кавычек.

В значении "срочный" – горящий тур, горящая путевка. Кавычки не требуются.

Словари дают разные рекомендации: в одних это слово фиксируется как слово муж. рода, в других — как ср. рода, в третьих — как муж. и ср. Поэтому возможны оба варианта: горячее татами и горячий татами.

Как и раньше: горячий кофе – предпочтительный вариант, отвечающий строгой литературной норме, горячее кофе – вариант, допустимый в непринужденной разговорной речи.

"Висячим" называется предлог, расположенный в конце строки и связанный по смыслу с самостоятельным словом в начале следующей строки. Правила правописания ничего не говорят о таком предлоге, правила типографики (оформления печатных текстов) рекомендуют перенос висячих предлогов на новую строку.