А у Лермонтова и Достоевского (в источниках) не хватает знаков препинания?
Принято говорить: куриная грудка.
Верны обе формы: туркмен и туркменов. Общего правила для всех названий национальностей нет, в спорных случаях следует сверяться со словарем.