Название разновидности обуви нужно писать со строчной буквы, без кавычек: броги.
Эти формы равноправны.
В русский язык английское слово raggae вошло в двух вариантах написания: регги и реггей, которые и зафиксированы в «Русском орфографическом словаре». Значение слова можно посмотреть в «Большом толковом словаре русского языка».
Словари предлагают форму мн. ч. рога для всех значений слова рог, как бы странно ни звучало сочетание рога для вина.
Верная форма именительного падежа множественного числа слова рог – рога (независимо от значения).