Правильно: слезы навернулись на глазах.
Можно написать: желает не верить, не желает верить.
Правильно раздельное написание: верить на слово.
См. ответ на вопрос № 303522.
Верно: операция (на чем?) на глазах, на позвоночнике, на желудке.
У глаголов весить и вешать разное значение. Весить – иметь какую-либо тяжесть (сколько весит этот груз?), вешать – определять массу, взвешивать (это разговорный глагол). Крылатая фраза из рекламного ролика – сколько вешать в граммах?
Правильно: на глаза навернулись слезы.