Да, домашним именем Катя называют и Катерину, и Екатерину.
Об имени Екатерина, как и других, можно прочитать на нашем портале в «Словаре русских личных имен» Н. А. Петровского.
Да, эту фамилию следует склонять.
Да, склоняется.
Это и правда очень сложно – доказать носителям языка, уверенным, что их фамилия не склоняется, что они неправы. Возможно, Вам поможет статья нашей рубрики «8familii/">Азбучные истины».
См. в «Словаре трудностей».