Да, правильно писать дизайн- и контент-менеджер.
Правильное написание: графический дизайн и веб-дизайн.
Правильно: дизайн-проект.
Разработать дизайн можно.
Ошибки нет. Работа и результат работы часто могут быть названы одним и тем же словом, это явление в языке именуется метонимией.