В предложном падеже правильно: на Маврикии. С другими падежами трудностей быть не должно.
Названия республик мужского рода несклоняемы в функции приложения. Верно: из Республики Маврикий.
В этих событиях участвовала организация со старым названием, это старое название и должно фигурировать в письме. Но при этом нужно как-то предупредить читателя, что название было изменено.