Имена и фамилии, оканчивающиеся на гласный -и, не склоняются. Правильно: выражаем благодарность Эльви.
В этом случае лучше написать так: Выражаем благодарность индивидуальному предпринимателю А. А. Иванову.
Верно: ...за доверие, которое я не оправдал.
Дополнительные знаки препинания не требуются.
В строгой деловой речи лучше: подготовившему.
Дополнительные знаки препинания не требуются.
Правилен первый вариант.
Корректно: на конференции.
Правильно: заведующей медиатекой.