Вместо запятой следует поставить тире.
Кавычки не требуются: корсет на косточках.
Верно: бюстгальтер на косточках (со вшитыми жесткими дужками).
Запятая перед союзом и в этом предложении не нужна, т. к. союз соединяет однородные сказуемые. В диктанте правильным признается вариант без запятой.