Верно: взвесить все за и против (с буквой Е, без кавычек).

Для постановки запятой нет оснований.

Вы написали правильно. Взвесьтесь – корректная форма повелительного наклонения глагола взвеситься.

Запятая не нужна. Запятая в подобного рода конструкциях, состоящих из глагола быть, найти, остаться, вопросительно-относительного местоимения или наречия (кто, что, где, куда и др.) и неопределенной формы другого глагола, не ставится, ср.: будет о чем поговорить, есть на что посмотреть, есть к чему стремиться, не нашла что сказать, осталось на что жить и т. д.

Верно: взвесить.

Нет, такое употребление неправильно. Глагол завесить в русском литературном языке имеет только одно значение: «то же, что занавесить: закрыть, скрыть, повесив что-либо».

Кавычки не нужны: взвесить все за и против.