Форма винительного падежа: заём. Верно: заявка на заём.
См. в «Словаре трудностей».
В винительном падеже правильно: заём, займы.
Верно в именительном падеже: наём и заём. У слова "нанять" есть значение "взять что-л. за определённую плату внаём, во временное пользование", поэтому о квартирах можно так говорить.
Правильно: взять заём, не брать займа.
Формы вин. и им. падежей совпадают: заём. См. словарную фиксацию.
Слово пока не фиксируется в словарях. Корректно: созаём по аналогии с заём. Мы передадим это слово редактору академического орфографического словаря.