Пожалуйста, воспользуйтесь словарями.
Правильно: Численность коров составила пятьдесят одну голову.
Это устойчивое выражение, поэтому употребляется форма ед. ч. даже по отношению к нескольким лицам: Не сносить тогда вам головы.
Возможны оба варианта.
Возможны оба варианта (с учетом контекстных различий).
Корректно: политологи ломают голову.
Верно обедали у Стрижей, Стрижи хранят тайну. Но: у супругов Стриж, семья Стриж.
По-русски говорят: болит голова, кружится голова. (Кстати, утверждают, что собственно мозг болеть не может, т. к. в мозгу нет болевых окончаний.)
Требуется согласование по смыслу. Голов много? Тогда: они приподняли головы.