Верно: правитель Венецианской республики.
Мужская фамилия Бенедик склоняется, женская – нет.
Возможны оба варианта.
Запятая не нужна. Не обособляются распространенные определения, стоящие после определяемого существительного, если последнее само по себе в данном предложении не выражает нужного смысла и нуждается в определении (не имеет смысла фраза Он осуществил мечту губернатора сделать из Осташкова город).
Лучше так: его часто называют Азиатской Венецией.
С прописной следует написать Министерство культуры Украины, Министерство культуры России. А вот "наше министерство культуры" - со строчной.