Правильно: Бабель, если имеется в виду писатель, автор «Одесских рассказов» и «Конармии». Фамилия голландского футболиста, игрока «Ливерпуля», обычно произносится с твердым Л, в русской «Википедии» зафиксировано: Бабел.

Это имя не склоняется.

Мужская фамилия Гель склоняется. Правильно: Гелю Ивану Степановичу.

Правильно: кеглей.

Устойчивым это выражение не является; связано оно, по-видимому, с известным анекдотом о чукче:

Поймал чукча верблюда, а что это за животное и что с ним делать, не знает. Пошел к шаману. Шаман спрашивает:
– Рыбу ест?
– Однако, не ест.
– Однако, не нерпа. Ягель ест?
– Однако не ест.
– Однако, не олень. Смотреть надо, однако. – Пошел шаман, посмотрел...
– Однако, это Саmеl. Курить надо!

Слово Берлин лучше написать в скобках: Анна Фогель (Берлин) разработала методику...

Правильно: Малага. См.: Агеенко Ф. Л. Словарь собственных имён русского языка. М., 2010 (электронная версия – на нашем портале).

Ударение в названиях Базель и Марсель сравнивать некорректно, т. к. эти названия пришли из разных языков: Базель – из немецкого, Марсель – из французского (в котором ударение всегда на последнем слоге). Кроме того, ударение в иноязычных географических названиях в одних случаях соответствует ударению в языке-источнике, а в других побеждает традиционный для русского языка вариант, отличающийся от оригинала (Вашингтон, а не Уошингтон). Поэтому во всех спорных случаях надо обращаться к словарю.

Словарной фиксации нет. Корректно писать через дефис.

Гель – существительное мужского рода.