Страдательное причастие прошедшего времени образуется только от глаголов совершенного вида, в данном случае бросить.
Причастие брошенный образовано от глагола совершенного вида бросить. От глагола несовершенного вида бросать теоретически возможно не употребимое в речи причастие *бросаный; сравним приставочные образования совершенного вида: набросать — набросанный (например: набросанные в корзину шишки).
Употребительно - бросить курить.
Верно: просить прощения.
Допустимы оба варианта. Подробнее см. в ответе на вопрос № 243582.
Верен второй вариант.
Правильно: просить прощения.