Грамматически верно: диогеновой, но этот оборот обычно употребляется в форме бочка Диогена.
Все верно.
Корректно слитное написание.
Корректно: букет тюльпанов.
Возможны оба варианта.
Корректно: (принести) букет садовых цветов, (составить) букет из садовых цветов.
Возможны оба варианта, выбор зависит от контекста.