Фамилия склоняется как слово санаторий: Нет Бородия, к Бородию, с Бородием, о Бородии.
Правильно: бород.
Мужскую фамилию Бородай следует склонять. Если "товарищ" - женщина, то склонять фамилию не нужно.
Дело в том, что Снежная королева действительно является королевой. А вот Синяя Борода не является бородой (как и Красная Шапочка - шапочкой).
Словосочетание побрить бороду корректно, оно зафиксировано словарями русского языка. Ошибки нет.
Возможно (если название комплекса не является топонимом, т. е. географическим названием): горнолыжный комплекс "Бобровый лог".
Со значением "разрыхлять бороной" употребляются два глагола - боронить и бороновать. Поэтому возможны варианты: боронят и боронуют.
Склоняется только последняя часть: джек-рассел-терьера, джек-рассел-терьеру и т. д.