Здесь Бородин - фамилия?
Приложения-топонимы среднего рода, оканчивающиеся на -е, -о (но не на -ово, -ево, -ино, -ыно), охвачены в современном русском языке тенденцией к несклоняемости. Корректно: жители села Городище.
Возможен и склоняемый, и несклоняемый вариант.
Возможен как склоняемый, так и несклоняемый вариант. См. подробно в «Письмовнике».
См. «Азбучные истины».
Фамилия склоняется как слово санаторий: Нет Бородия, к Бородию, с Бородием, о Бородии.
Да, все верно.