В разных учебных пособиях этот вопрос рассматривается по-разному. Подробнее см. раздел «Формообразующий суффикс. Модификации глагольной основы» в пособии Е. И. Литневской.
Верно: Нам есть чем гордиться и есть что беречь!
Да, по мнению некоторых лингвистов (например, Н. М. Шанского), слова берег и беречь этимологически связаны друг с другом.
Слово берег восходит к индоевропейской основе *bherg'hos и имеет соответствия в других индоевропейских языках: ср. нем. Berg 'гора', норв. berg 'гора; горная цепь', исл. bjarg 'скала, утес', арм. berj 'высота', т. е. первоначальное значение этого индоевропейского корня – 'высота, возвышение', затем – 'гора, гористый берег' и – уже в общеславянском языке – 'берег' вообще (ср. в русских говорах гора – 'возвышенный берег', дорога горой – 'по высокому берегу реки').
Слово беречь восходит к общеслав. *bergti, исходное значение которого – 'прятать, укрывать, защищать'. Этот глагол тоже имеет соответствия в других индоевропейских языках, ср. нем. bergen 'прятать, закрывать'. Ученые предполагают, что он восходит к той самой индоевропейской основе *bherg'hos. Развитие значения, возможно, шло следующим образом: 'гора' > 'убежище' (гора, углубление в горе служили средством защиты, местом, где можно спрятаться).
Глагол уберечь можно отнести к непроверяемым, так как нет проверочного слова с ударным слогом бе. Однако учеными недавно был предложен способ проверки для корней с полногласными сочетаниями (ере, оло): в таких корнях написание определяется проверкой хотя бы одной гласной (бере́чь) или подбором слова с неполногласием (небрежный). Этот способ пока малоизвестен и в школе не применяется.
1. Оба варианта некорректны, слово повинность лишнее. Верно: безоговорочно доверял, обязав охранять и оберегать резиденцию. 2. Верно: ...по питомцу. Какому захотите.
Ставится запятая: Чтобы сберечь слух, дайте отдых своим ушам.
Управление зависит от значения. В значении 'неохотно расходовать, скупиться' возможно: жалеть что (винительный падеж) и жалеть чего (родительный падеж). В значениях 'чувствовать жалость' и 'беречь, оберегать, щадить' глагол жалеть управляет винительным падежом (жалеть кого-что): жалеть сирот, жалеть подругу.
Таким образом, если в приведенном Вами примере глагол употребляется в значении 'неохотно расходовать, скупиться', возможны варианты: дело и дела.
В обоих случаях запятые не требуются. Цельные по смыслу выражения есть + вопросительно-относительное местоимение + глагол в неопределенной форме запятыми не разделяются.