Правильное написание: бедж (именная карточка).
Верно: бейджей и беджей (как картриджей, коттеджей).
Фамилию Белуза можно и нужно склонять (и мужскую, и женскую): Белузы, Белузе и т. д.
1. Корректно: ромовые бабы. 2. См. «Словарь трудностей». 3. Правильно: бедж. 4. Правильно: Юлечка, Олечка.