Корректно: шашлык на кости.
Оба варианта возможны.
Правильно: Барак Обама. Обоснование см. здесь.
Написание Ё в данном случае факультативно. А вот читать нужно с Ё. Но, во избежание разночтений, поправили.
Устойчивое сочетание: жарить шашлык.
Нет, эти слова имеют разные корни и разное происхождение.
Если сказуемое предшествует однородным подлежащим, обычно употребляется форма единственного числа сказуемого: мне нравится шашлык из курицы и винегрет. Но и форма множественного числа не будет ошибкой.