Корректно слитное написание. Обратите внимание: слово деморежим пишется слитно.
Оба варианта возможны. Лучше: приглашаем отдохнуть на лоне природы.
Правильно: изделие изо льна.
Предлог изо употребляется: 1) перед формами родительного падежа слов лев, лёд, лён, лоб, ложь, мох, ров, рожь, рот: рубашка изо льна; 2) в устойчивых сочетаниях изо дня в день, изо всех сил. В сочетаниях со словами всего, всей, всех употребляются оба предлога - из и изо: дует из всех щелей и изо всех щелей.
См. вопрос 240774.