Корректная пунктуация: В Грузию, точнее в Тбилиси и Батуми, турпоток из РФ с начала года вырос.

Тбилиси – существительное мужского рода.

Названия этих городов – существительные мужского рода.

Пожалуйста, используйте  словари.

Такая форма корректна. Предлог "по" в значении "после" используется с существительным в форме предложного падежа.

Корректор прав. Кемерово – существительное среднего рода. Если существительное обозначает географический объект, то его род определяется родом слова, которое обозначает тип объекта (город, река, озеро и т. д.) – такое правило, действительно, существует, но касается только несклоняемых существительных (Тбилиси мужского рода, так как это город, Миссисипи женского рода, так как это река). Кемерово – изменяемое слово (в Кемерове, из Кемерова). Ср.: Москва – слово женского рода, хотя это тоже город.