Все варианты правильные. В современном литературном языке в количественном (партитивном) значении род. п. в письменной речи преобладает форма на -а (чашка чая). Но в разговорной речи часто употребляется флексия -у, особенно в глагольных конструкциях со значением неполного объекта (хочу чаю, добавить сахару и т. п.). Винительный падеж (хочу чай) также возможен, т. к. речь идет о конкретном объекте.
Верно: час че.
Все три варианта возможны.
См. ответ 280416.
В эфире корректно: в этом часе, в течение следующего часа. Форма предложного падежа с окончанием -у ограничена в употреблении рядом устойчивых конструкций: (пришел) в пятом часу, (неполадки возникли) на третьем часу полета и нек. др.
Оба варианта правильны.