Кавычки не нужны.
Традиционное написание: "голубой период".
Да, Эльдорадо – существительное среднего рода. В тексте песни мы сталкиваемся с нарушением грамматической нормы.
Сочетание голубое топливо заключать в кавычки не требуется, если оно обозначает природный газ.
Ласкательное обращение голубчик восходит к слову голубь.
Выражение на голубом глазу – усечённая форма фразеологизма врать на голубом глазу – врать не краснея. В основе этого выражения, вероятно, лежит представление о "ясности" взгляда, честности говорящего.
Мужская фамилия Голуб склоняется.