Правильно: Барак Обама. Обоснование см. здесь.
Корректно: обамомания.
Правильно: самарско-тольяттинский.
Фамилию избранного президента США нужно склонять.
Если один человек выполняет упражнения в одном гамаке, то предпочтительно назвать это "йогой в гамаке".