Правильно писать и «Елочка», и «Ёлочка». Употребление буквы Ё регулируется правилами русского правописания. В соответствии с ними буква Ё пишется в трех случаях: 1) когда необходимо предупредить неверное чтение и понимание слова, например: узнаём в отличие от узнаем; всё в отличие от все; совершённый (причастие) в отличие от совершенный (прилагательное), сюда же относится Ё в именах, отчествах, фамилиях людей: Чернышёв – Чернышев; 2) когда надо указать произношение малоизвестного слова, например: река Олёкма; 3) в cпециальных текстах: букварях, школьных учебниках русского языкa, учебниках орфоэпии и т. п., а также в словарях для указания места ударения и правильного произношения. В остальных случаях написание Ё факультативно (необязательно).

В окончаниях отчеств, как и в целом в окончаниях существительных и прилагательных, после шипящих пишется буква о (см. пункт 1 параграфа 18 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина): Кузьмичом, Фомичом.

Правильно и с точками, и без точек над ё. Но по желанию автора или редактора любой текст может быть напечатан с последовательным употреблением буквы ё. Так что газета может настаивать на написании серьёзно.

В «Орфографическом словаре русского языка» (1956–2000), «Русском орфографическом словаре» под ред. В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой (2023) и в более раниих его изданиях, в базе академического ресурса «Академос» слово не фиксируется ни с буквой о, ни с буквой ё. В настоящее время следует писать по действующему правилу — газожог. Так как выбор гласных о/ё после шипящих до середины ХХ века оставался неупорядоченным, на написания, встречающиеся в литературе и в неорфографических словарях,  ориентироваться не стоит. Однако заметим, что, судя по данным ресурса «Google Книги», написание с о всё же более частотно, чем с ё. 

Официального написания не существует. Правилами орфографии рекомендуется употреблять букву ё в собственных именах, в том числе в фамилиях.

После ж, ч, ш, щ пишется ё в тех корнях русских слов, где на месте ударного звука [о] после шипящих (печёнка) оказывается безударный (пе́чень). Ср. также: жёны — женá, щёлкнуть — щелчóк, щётка — щети́на.

Общее правило таково: после мягкого парного согласного, шипящего или ц без ударения пишется буква е, если под ударением в той же морфеме выступает ё или о. Ср.: кварцевый – пунцовый, почтовый (суффикс ев/ов), свежесть – злость (суффикс есть/ость), о хорошем – о большом, о крутом (окончание ем/ом), Францевич – Петрович (суффикс евич/ович). См. также «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).

Если в паспорте, свидетельстве о рождении отчество уже записано в форме Францович, эту форму придется сохранять.

Еще необходимо учитывать, что в прошлом написание гласных е, ё, о после шипящих и ц не было урегулировано, поэтому в старых книгах можно встретить ненормативные сегодня написания с буквой о после шипящих и ц. Иногда архаичные написания сохраняют при переиздании старых текстов.

Предпочтителен вариант с твердым [кл]. В «Орфоэпическом словаре русского языка» под ред. Р. И. Аванесова (М., 1989) вариант с мягким [кл'] указан как допустимый.

Если в тексте последовательно используется буква ё, то корректно писать антислёживающий. Если буква ё не используется (заменяется на е), то нужно написать антислеживающий. Произношение слова от написания не зависит. Правила употребления буквы ё см., например, здесь. 

Название Вышний Волочёк сохраняет орфографическую форму, которая закрепилось еще до унификации написания ё и о после шипящих, проведенной в 1956 году. До этого важного события в истории орфографии написание ё и о после шипящих колебалось.