Правильно: все в грязи, «жигули» остановились.

В ночи – не то чтобы исключение. Есть небольшая группа существительных женского рода третьего склонения, у которых в предложном падеже, так же как и у слов мужского рода второго (по школьной грамматике) склонения, различаются формы с изъяснительным значением и с местным. Ср.: о лесе, об аэропорте, о носе, о крае – в лесу, в аэропорту, в носу, в краю. Только если у слов мужского рода здесь разные окончания (-е и -у), то у слов женского рода эти особые формы предложного падежа со значением места отличаются от «обычного» предложного падежа только ударением, ср.: о ночи, о крови, о грязи, но: в ночи, в крови, в грязи. Ударение на последнем слоге сохраняется и при наличии прилагательного: в холодной ночи, в горячей крови, в весенней грязи. 

Правильно: в грязи, о грязи.

Воспользуйтесь электронными словарями, размещенными на нашем портале. Задайте в поисковой строке слово в начальной форме.

Правильно: по грЯзи.

Правильно: извозиться в грязи.

В случае если необходимо написать именно указанное просторечное слово, то верно: извозюкаться. Проверочное слово, например, (он) возится.