В этом предложении нужна только точка в конце: Включите аппарат в сеть и пользуйтесь согласно инструкции.

Лучше написать так: в социальной сети «В контакте» (ср.: в журнале «За рулем»).

Смысл в том, что служб несколько и они образуют сеть? Или у ветеринарной службы (одной) есть сеть филиалов?

Пятая колонна – публ. неодобр. тайные агенты врага – шпионы, диверсанты; предатели, изменники. Выражение родилось в годы войны в Испании (1936–1939) и принадлежит генералу франкистской армии Эмилию Мола. Во время наступления на Мадрид осенью 1938 года он по радио сообщил защищавшим город республиканцам, что кроме четырех армейских колонн располагает в Мадриде еще и пятой колонной. Так он назвал сеть тайных агентов, шпионов, а также сочувствующих франкистам предателей, которые действовали в городе.

Если это не имя собственное (не название фильма, например), то никаких оснований для написания с большой буквы нет. Правильно: социальная сеть.

В значении 'Интернет' слова Сеть и Паутина пишутся с большой буквы.

Корректно: сеть Интернет (интернет).

Да, такое написание возможно.

Верно: где нам не пропадать (по аналогии с где наша не пропадала!).

Вопрос спорный. Говорить о правильности употребления здесь предлога сложно хотя бы потому, что само название ресурса оформлено с нарушением орфографических законов: по правилам русского правописания две прописные буквы подряд в начале слова не пишутся (исключение составляют только аббревиатуры). Лучше избегать сочетания предлога в и названия ресурса и добавлять родовое слово: в социальной сети «ВКонтакте», на сайте «ВКонтакте».