Принято писать с пробелом.
Фразу нужно перестроить. Возможен такой вариант: Они проверили 51 учреждение, где проживали нелегалы.
Корректно: ...которое посещало (посещали).
Слова федеральное государственное учреждение пишутся строчными буквами.
Верно написание со строчной буквы.
Правильно: Государственное автономное учреждение «Организационный центр спортивных мероприятий» внедрило... Согласование идет с родовым словом (в данном случае – учреждение). Ср.: кинотеатр «Победа» показал... (не показала).
Винительный падеж совпадает с именительным: (направить в) муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа».
Верно: государственное учреждение «Жилищник такого-то района» рассмотрело; акционерное общество «Банк такой-то» выполнило.